Vad är det matematiska innehållet
Matematik
Matematik (från grekiska: Μαθηματικά) existerar enstaka teoretisk samt generell vetenskap angående problemlösning samt metodutveckling[3] – teoretisk därför för att den frigjort sig ifrån problemens konkreta ursprung samt generell därför för att den existerar tillämpbar inom en stort antal områden samt teoretiska modeller.[3] Alternativt förmå man även benämna den liksom ett vetenskap angående kvantitativa relationer samt rumsliga strukturer inom den verkliga världen.[4] modell vid matematiska term existerar anförande, uppgifter, struktur, kvantiteter, boende samt deras förhållanden.[5][6] Antingen vilket abstrakta idé (ren matematik) alternativt tillämpningar inom vetenskapliga discipliner såsom fysik samt teknik (tillämpad matematik).[5]
Medan naturvetenskapen studera entiteter inom period samt plats existerar detta ej tydlig för att identisk existerar sant på grund av dem objekt vilket studeras inom matematik.[7] Vidare skiljer sig metoderna till rapport åt: naturvetenskapen tenderar för att nyttja metoder från induktion samt matematiken metoder från deduktion.[7] från bland annat nämnda skäl väcker matematik ontologiska samt kunskapsteoretiska ämnen skilda ifrån vetenskapsteorin.[7] Dessa problem att diskutera behandlas inom matematikfilosofi.[7]
Etymologi
[redigera | redigera wikitext]Det grekiska termen mathemata betyder ungefär vad såsom lärs, ibland inom enstaka generell bemärkelse, ibland relaterat mot astronomi, aritmetik samt musik.[8] termen mathemata samt dess släktord besitter inom efterhand trätt in inom etymologin hos andra europeiskaspråk.[8] Franska mathématiques, spanska matemáticas, latinska mathematica samt engelska mathematics besitter alltså en gemensamt ursprung.[9][8] Definitionen från termen matematik äger inte någonsin varit enhetlig samt äger varierat genom historien samt mellan världsdelar likt Europa, Kina samt Mellanöstern.[10] inom historisk undersökning ifall matematik letas ekvivalenta mening inom andra kulturer.
Det centrala innehållet i kurserna 1a och 2a är delvis öppet formulerat för att kunna anpassas till karaktärsämnenaGenom för att undersöka dessa mening samt dem aktiviteter såsom förknippats tillsammans dessa besitter historievetenskapen ifall matematik utvecklats.[10]
I landet besitter matematik kommit för att betyda skolämnet alternativt vetenskapen matematik, liksom inom meningarna ”lärobok inom matematik” samt ”professor inom matematik”. Ibland sägs vardagligt ”det existerar matematik”, tillsammans avseende vid aritmetik såsom inom ”det existerar enkel för att räkna ut”.[11]
Substantivetmatte existerar inom vardagligt anförande slanguttryck till termen matematik, i enlighet med Nationalencyklopedin äger slanguttrycket funnits sedan [12] dem engelska motsvarigheterna existerar math (amerikansk engelska) samt maths (brittisk engelska, sedan ).[13]
Historia
[redigera | redigera wikitext]Matematiken besitter enstaka minimalt tid utdragen historia.[15] Vissa menar för att matematikens saga går många längre bak; bland annat utvecklades matematik inom Sumer, södra Mesopotamien samt nuvarande Irak, inom samband tillsammans utvecklandet från skrivkonsten samt läsandet på grund av cirka kalenderår sedan.[16] Vår äldsta förståelse angående människans bruk från matematik existerar ifrån antika Egypten samt Babylonien.[17] andra kulturer var matematik förekommit existerar grekisk, arabisk, kinesisk, indisk, mayansk samt amerikansk kultur.[18] dem matematiska ämnen liksom diskuterats besitter varit, bland andra, algebra, utvärdering, anförande samt talteori, matematik samt topologi, matematisk fysik samt matematisk astronomi.[18]
Den förste matematikern känd nära namn hette Ahmes samt fanns enstaka egyptisk skrivare såsom runt skrev ned en antal matematiska bekymmer denne kallade antika skrifter.[19] Idag kallas Ahmes antika skrifter till Rhindpapyrusen.[19] Texten visar, tillsammans tillsammans med andra arkeologiska fynd såsom Plimpton (mellan samt , Babylonien) samt Moskva-papyrusen (ca Mellersta riket, Forntida Egypten), för att detta antika Egypten samt Babylonien, civilisationer före Antikens Grekland, ägde en välutvecklat numeriskt notationssystem.[19][20][21]
Matematiker
[redigera | redigera wikitext]Norman L.
Biggs skriver inom sin lärobokDiscrete Mathematics: "Matematiker behandlar påståenden. Ofta handlar påståendena ifall tal. Påståendena existerar antingen sanna alternativt falska. till för att besluta angående en påstående existerar sant alternativt falskt behövs en bevis."[22][en 1]
Notation samt terminologi
[redigera | redigera wikitext]Matematiska term införs tillsammans med enstaka definition likt beskriver hur begreppet bör tolkas.
på denna plats presenteras en antal elementär term inom modern matematik. Nedanstående bör dock ej tolkas liksom matematiska definitioner, utan försök för att förklara hur begreppen används.
Mängder
[redigera | redigera wikitext]En mängd existerar ett möte objekt, mot modell ett session anförande {1, 2, 3} liksom existerar enstaka ändlig mängd, {1, 2, 3, } existerar däremot enstaka oändlig mängd var punkterna markerar för att numreringen fortsätter.
enstaka mängd utan innehåll kallas den tomma kvantiteten. ett mängd är kapabel bestå från flera delmängder. angående äger numeriskt värde mängder, kunna man ta elementen vilket existerar gemensamma (snittet) alternativt ta elementen likt finns inom någon mängd (unionen). Dessutom är kapabel man ta komplementet, dem element vilket ej finns inom den givna kvantiteten dock vilket finns inom den största tänkbara mängden.[23] Mängder samt dess operationer studeras inom mängdteori, var Zermelo-Fraenkels mängdteori existerar den vanligaste modellen.
Funktioner
[redigera | redigera wikitext]Funktioner tar värden ifrån en region, definitionsmängden, samt tilldela värden inom en annat zon, värdemängden. Inom grundskolan existerar ofta dessa mängder kvantiteten från dem reella talen R.
Tal
[redigera | redigera wikitext]Matematikens numeriska struktur består bl.a.
Matte med Mat och Te uppmärksammar oss på att matematiken finns runt omkring oss, överallt och hela tidenfrån dem naturliga talen, heltalen, dem rationella talen, dem reella talen samt dem komplexa talen. oss bör inom detta del ge en förslag mot ett konstruktion från dem naturliga talen likt använder sig från Peanos axiom. Utifrån denna konstruktion bör oss ge enstaka axiomatisk definition från heltalen; oss använder termen axiom på grund av för att mena grundantaganden liksom ej existerar inom sig själva logiskt avledda effekt.
Utifrån definitionen från heltal är kapabel oss konstruera dem rationella talen genom för att nyttja oss från strukturerade par från anförande. enstaka konstruktion från dem reella talen finns bland annat inom Richard Dedekind sysselsättning.
Konstruktion från dem naturliga talen
[redigera | redigera wikitext]Med dem naturliga talen N, avser oss kvantiteten från icke-negativa heltal (0, 1, 2, osv). Intuitivt bygger oss dem läka talen genom för att börja tillsammans med en unikt element 0. Därefter associerar oss nästa anförande inom N tillsammans 0+1, samt andra tillsammans med (0+1)+1, osv.
ett sådan på denna plats medvetande från dem naturliga talen existerar intuitiv, tillsammans detta menat icke-formellt, eftersom + ej existerar ett väldefinierad operation. oss är kapabel ej heller, beneath denna perception, titta för att N existerar ett oändlig mängd, ty en argument på grund av för att N existerar oändligt existerar följande: () antag för att detta finns en största element n inom N, då existerar n+1 inom N samt n+1 existerar större än n, således kunna ej n artikel detta största talet inom N samt via reductio ad absurdum innehåller ej N en största anförande.
Notera påståendet för att n+1 existerar större än n, detta existerar ej sant eftersom oss ännu ej besitter funnit någon matematisk fras tillsammans "större än" alternativt "mindre än". Peanos axiom löser problemen ifrån denna diskussion:
Systemet , vars element oss kallar naturliga anförande, existerar ett mängd tillsammans med en unikt element 0 samt enstaka funktion s ifrån N mot N således för att nästa tre villkor existerar uppfyllda:
Några kommentarer: mot varenda naturligt anförande n säger oss för att s(n) existerar dess person som följer efter någon annan samt oss definierar s inom "konkreta" begrepp genom för att notera .
eftersom oss önskar för att samtliga anförande inom N existerar icke-negativa existerar detta ej svårt för att titta för att (i) existerar en rimligt krav. Angående (ii): antag för att kravet ej vore uppfyllt. oss skulle då äga .
[3]Ofta inser oss för tillfället för att oss förmå subtrahera (en operation ej definierad vid , ty angående subtraktion vore definierad vore enstaka icke-stängd mängd; dvs. för att detta finns element inom sådan för att ett tvådelad operation applicerad vid dem resulterar inom en element likt ej innheåller. : =-1 existerar ej inom ) samt för att n=m, således för att ifall m existerar skilt ifrån n besitter oss en matematisk effekt vilket ej existerar inom enlighet tillsammans med allmän/kulturell/standardiserad matematisk intuition.
detta existerar därför rimligt för att (ii) gäller. (iii) kallar oss på grund av matematisk induktion. A förmå tänkas bestå från enstaka mängd attribut P(n) likt beror vid naturliga anförande n inom .
Matematik (från grekiska: Μαθηματικά) är en abstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling [3] – abstrakt därför att den frigjort sig från problemens konkreta ursprung och generell därför att den är tillämpbar i ett stort antal områden och teoretiska modellerangående detta ifrån egenskapen, ibland kallat påstående, P(n) följer för att P(n+1) till samtliga n inom , säger oss för att P(n) håller på grund av samtliga n samt förmå notera (mängden A utläses: kvantiteten från naturliga anförande n på grund av vilka P(n) gäller). för att induktion leder mot flera filosofiska bekymmer existerar bland annat välkänt efter David Hume.
Med notationen ifrån Peanos axiom definierar oss addition samt multiplikation.
Addition: på grund av element m, n inom äger oss för att m+n existerar lika tillsammans s applicerad n gånger vid s(m). Kortfattat: . Då oss utför denna procedur säger oss för att oss adderar n mot m. Proceduren kallar oss addition. Därmed existerar + enstaka väldefinierad tvådelad operation.
Multiplikation: m*n fås från för att bygga ett funktion g vilket applicerar s m gånger, samt sen applicera g n gånger vid 0. Kortfattat: . Då oss utför denna procedur säger oss för att oss multiplicerar m samt n. Proceduren kallar oss multiplikation. Därmed existerar * enstaka väldefinierad bestående av två delar operation.
karaktärsämnenas och yrkeslivetsStörre än alternativt lika med: oss säger för att m existerar större än alternativt lika tillsammans n, skrivet , angående ekvationen m=n+x äger enstaka svar x inom N. beneath identisk villkor säger oss för att n existerar mindre än alternativt lika tillsammans m. angående lösningen ges från x=0 säger oss för att m existerar lika tillsammans n samt skriver .
angående lösningen x existerar nollskild, säger oss för att m existerar större än n samt skriver . Dvs: tecknet förmå utläsas "större än alternativt lika med".
Argumentet () på grund av för att existerar enstaka oändlig mängd existerar för tillfället giltigt baserat vid Peanos axiom.
Definition från heltalen
[redigera | redigera wikitext]existerar ett delmängd från heltalen .
Konstruktion från dem rationella talen
[redigera | redigera wikitext]existerar ett delmängd från dem rationella talen .
Konstruktion från dem reella talen
[redigera | redigera wikitext]existerar enstaka delmängd från dem reella talen .
Rum
[redigera | redigera wikitext]En vektor kunna ses vilket enstaka inventering från anförande, kallade element. Vektorer förmå framträda inom koordinatsystem, alternativt definiera en således kallat vektorrum. Dessa punkter förmå placeras samman mot geometriska figurer. enstaka vektor är kapabel inom stället till anförande bestå från andra objekt, såsom följer vissa primär räkneregler.
mot modell förmå polynom användas vilket vektorer.
Matematisk notation
[redigera | redigera wikitext]Matematisk notation existerar symboler såsom låter matematiker uttrycka idéer koncist. mot modell tros symbolerna till addition samt subtraktion uppstått vid talet. Addition betecknas + samt subtraktion betecknas −.[24]
Delområden
[redigera | redigera wikitext]Aritmetik
[redigera | redigera wikitext]Vetenskapen ifall anförande, samt operationer vid mängder från anförande, kallas aritmetik.[25] Aritmetiska operationer inkluderar addition, subtraktion, multiplikation samt division, liksom kallas dem fyra räknesätten.
Dessutom ingår kongruensrelationen (att resten nära division existerar lika), faktorisering (uppdelning från en anförande inom faktor vilket multiplicerade ihop blir talet) samt potenser (att upphöja en anförande mot en annat).Operatorprioriteten avgör inom vilken ordning olika delar från en matematiskt formulering bör beräknas. Aritmetiken fanns ett sektion från quadrivium nära medeltida universitet.[26]
Geometri
[redigera | redigera wikitext]Geometri existerar vetenskapen ifall rumsliga strukturer.
Ämnets syftebeneath talet vidaredefinierade René Descartes geometrin mot algebraiska formuleringar, en material vilket kom för att kallas analytisk matematik. Några följder från Descartes upptäckter existerar för att olika kägelsnitt kunde representeras inom form eller gestalt från korta ekvationer samt för att plana geometriska figurer kunde avbildas inom en kartesiskt koordinatsystem.
Vetenskapen likt studera vinklar samt deras förhållanden mellan varandra kallas trigonometri, sambanden mellan geometriska samt trigonometriska satser existerar starka. inom modern tidsperiod besitter topologi blivit en viktigt region, var studeras rumsliga strukturer noggrann såsom inom geometrin tillsammans undantaget för att formen, samt inga avstånd, hos objekten betraktas.
Strukturerna förmå töjas alternativt dras ihop fast håligheter bör bevaras.[27]
Algebra
[redigera | redigera wikitext]Algebra existerar ett sorts vetenskap angående kvantitativ balans. basal algebra, linjär algebra samt teoretisk algebra existerar modell vid områden vilket varenda behandlar algebraiska strukturer, vilket innehåller ett mängd, några operation samt räkneregler på grund av dessa.
basal algebra behandlar anförande samt linjär algebra matriser samt vektorer. teoretisk algebra alternativt modern algebra uppkom vid talet då bekymmer ifrån talteorin samt teorin på grund av ekvationer ledde mot studien från abstrakta matematiska objekt liksom kunde artikel anförande, polynom, permutationer alternativt element inom andra mängder. dem aritmetiska operationerna kunna tillämpas vid dessa objekt.[28]
Matematisk analys
[redigera | redigera wikitext]Matematisk granskning handlar angående förändring.
ett massiv sektion från analysen består från teorier ifall toleransnivåer, varur teorin ifall derivator, en mått vid förändring, samt integraler, gränsvärdet från enstaka summa, bildas. Ibland pratas detta angående vektoranalys, var används matematisk undersökning samt linjär algebra till för att åtgärda bekymmer, oftast inom en tredimensionellt utrymme.
Diskret matematik
[redigera | redigera wikitext]Diskret matematik handlar ifall heltalen. ett betydelsefull kvist existerar kombinatorik vilket samtalar om kombinationer samt permutationer från urval. Även grafteorin hör hit.[29]
Egenskaper samt metodik
[redigera | redigera wikitext]Matematiken söker abstrahera samt generalisera olika idé.
mot modell förmå detta finnas anledning för att abstrahera begreppet symmetri, vilket bland annat leder mot galoisteori.[30]
Bevisföring
[redigera | redigera wikitext]Kortfattat existerar matematiska satser utfall avledda ifrån en antal påståenden, axiom, vilka existerar betraktade likt uppenbara samt sanna utan bevis.
en axiom existerar ej enstaka förmodan alternativt ett antagande eller en förklaring som föreslås för att förklara något ty dem senare betraktas ej liksom uppenbara.[31]
En sats förmå betraktas såsom en sant matematiskt påstående. en bevis från ett sats verifierar för att satsen existerar ett otvetydig sanning.
Beviset existerar ett verifikation inom den meningen för att den övertygar läsaren, tillsammans relevanta förkunskaper, ifall för att satsen existerar rätt. Relevanta förkunskaper inkluderar kunskapen ifall tidigare satser, axiom samt definitioner. då oss skriver definition, avser oss enstaka noggrant förklaring från en matematiskt mening alternativt enstaka matematisk fras.
Det centrala innehållet fördjupar grundskolans matematik i ett mer komplext sammanhang, dvsIbland förekommer orden lemma samt följdsats på grund av sanna matematiska påståenden. en lemma existerar ett sats vars huvudsyfte existerar för att förenkla beviset från ett större sats. ett följdsats existerar ett direkt påverkan från ett sats.[32]
Låt oss betrakta definitionen "ett heltaln existerar udda angående n=2a+1 till något heltal a".
oss påstår för att "7 existerar en udda heltal" existerar en sant matematiskt påstående. Genom för att sätta "a=3" inom definitionen besitter oss bevisat för att 7 existerar en udda heltal, eftersom 7=2·3+1.[32]
Den brittiska matematikern Bertrand Russell (–) skrev: