Vad är en elementär matris

För andra betydelser, titta Matris (olika betydelser).

Inom matematiken existerar enstaka matris en rektangulärt schema från anförande alternativt andra storheter. vid ett matris är kapabel tre från dem fyra elementär räknesätten utföras: addition, subtraktion samt multiplikation, dock ej division.

Därutöver finns vissa räkneoperationer liksom existerar specifika på grund av matriser, mot modell transponering. Matriser kunna användas på grund av för att hålla uppgifter vilket beror vid numeriskt värde kategorier samt till för att hålla ordning vid koefficienterna inom raka ekvationssystem samt nära raka transformationer.

Definitioner samt beteckningar

[redigera | redigera wikitext]

De horisontella raderna brukar benämnas rader, medan dem lodräta kallas kolumner alternativt kolonner.

enstaka matris tillsammans m rader samt n kolumner kallas ett m×n-matris (m gånger n-matris) samt m samt n kallas dess dimensioner.

Elementet (ett enskilt värde alternativt formulering inom matrisen) inom enstaka matris A (godtyckliga matriser betecknas normalt A, B samt C) inom den i:te raden samt j:te kolumnen brukar betecknas tillsammans med a_i,j inom matematiken, inom programmering skrivs identisk formulering istället A[i,j].

detta existerar vanligt för att matriser avgränsas antingen tillsammans stora rundade parenteser alternativt tillsammans med stora hakparenteser.

En matris kan se ut på följande sätt

(Avgränsning tillsammans med enbart raka streck utan hakar brukar inte användas, på grund av för att undvika sammanblandning tillsammans med determinanter.)

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Matrisen

är enstaka 4×3-matris. Elementet a_2,3 (matematiskt) alternativt A[2,3] (programmering) existerar 7.

Addition, subtraktion samt multiplikation

[redigera | redigera wikitext]

Addition

[redigera | redigera wikitext]

Addition från numeriskt värde matriser förutsätter för att matriserna besitter identisk dimensioner.

Om A samt B existerar numeriskt värde m×n-matriser, sålunda definieras C=A+B genom

Exempel:

Subtraktion

[redigera | redigera wikitext]

Helt analogt tillsammans additionen gäller för att angående A samt B existerar numeriskt värde m×n-matriser, således definieras C=A − B genom

Multiplikation tillsammans med skalär

[redigera | redigera wikitext]

Om enstaka matris A samt enstaka skalärk existerar givna, definieras multiplikationen därför för att ifall

gäller

Exempel:

Matrismultiplikation

[redigera | redigera wikitext]

Produkten AB från numeriskt värde matriser A samt B existerar endast definierad ifall antalet kolumner inom A existerar lika tillsammans med antalet rader inom B.

I detta avsnitt får vi lära oss hur man umgås med determinanter och med vektorer

ifall A existerar enstaka m×n-matris (m rader, n kolumner) samt B enstaka p×q-matris, existerar produkten AB endast definierad ifall n = p samt produkten BA existerar endast definierad ifall q = m.

Om C = AB gäller

Noterbart existerar för att AB existerar ett m×q-matris.

Exempel:

Matrismultiplikation äger egenskaperna

• ()C = A() till samtliga k×m-matriser A, m×n-matriser B samt n×p-matriser C (associativitet).
• (A + B)C = AC + BC till varenda m×n matriser A samt B samt n×k-matriser C (distributivitet).
• C(A + B) = CA + CB till samtliga m×n-matriser A samt B samt k×m-matriser C (distributivitet).

Kommutativitet gäller ej inom detta allmänna fallet.

angående A existerar ett m×n-matris samt B ett n×m-matris således existerar uppenbarligen ej AB = BA eftersom AB besitter dimensionen m×m samt BA existerar från dimension n×n.

Inom matematiken är elementära matriser matriser som skiljer sig från enhetsmatrisen med avseende på en elementär radoperation

Även ifall både A samt B existerar från dimension m×m gäller AB = BA endast inom speciella fall.

Två matriser A samt B säges artikel antikommutativa angående AB = −BA. liknande matriser existerar viktiga inom representationer från Liealgebror samt Cliffordalgebror.

Transponat

[redigera | redigera wikitext]

Transponering existerar enstaka operation likt bildar ett matris genom för att rader samt kolonner till ett given matris byter lokal.

Pa liknande satt numreras kolonnerna fran vanster till hoger som kolonn 1, kolonn 2, och sa vidare

enstaka m×n-matris A äger således ett n×m-matris vilket sitt transponat. Transponatet mot ett matris betecknas

där

Exempel:

Det gäller även för att

Kvadratiska matriser samt relaterade dimensioner

[redigera | redigera wikitext]

• För enstaka kvadratisk matris existerar antalet rader samt antalet kolumner lika.

  Den betecknas n×n-matris.

• Enhetsmatriser, vilka betecknas I, alternativt I_n ifall dimensionen specificeras, existerar matriser var diagonalens element existerar 1 samt övriga element 0. tillsammans med andra mening gäller för att I[i, j] = 1 ifall i = j samt 0 ifall i ≠ j.
• En kvadratisk matris A kallas inverterbar angående detta finns enstaka matris B sådan för att AB = BA = I.

  B kallas A:s invers samt betecknas A⁻¹. Även på grund av vissa icke-kvadratiska matriser, A, kunna man hitta matriser B samt C sådana för att BA = inom samt AC = inom. detta gäller då inom allmänhet för att B ≠ C.

  Matriser består av rader och kolumner

  B kallas då vänsterinvers samt Chögerinvers.

• Om λ existerar en anförande samt v ett vektor liknande för att Av = λv kallas vegenvektor samt λegenvärde mot A. varenda kvadratisk matris äger noggrant nkomplexa egenvärden.
• Determinanten på grund av enstaka diagonaliserbar matris existerar produkten från dess n egenvärden.

  Inverterbara matriser existerar noggrann dem såsom bara besitter nollskilda egenvärden.

• Gauss–Jordan-elimination existerar enstaka algoritm liksom är kapabel användas på grund av för att beräkna ett matris determinant, rang samt egenvärden samt till för att åtgärda raka ekvationssystem.
• En kvadratisk matris spår existerar summan från dess diagonalelement, vilken även existerar summan från dess egenvärden.
• Alla ortogonala matriser existerar kvadratiska.
• Genom för att utnyttja formella Taylorserier förmå ytterligare operationer göras vid kvadratiska matriser.

  vid sålunda vis förmå mot modell definieras, självklart vissa villkor vid elementen inom matrisen till för att garantera konvergens.

• Kvadratiska matriser från given storlek bildar enstaka fingerprydnad tillsammans med grupp beneath matrisaddition samt matrismultiplikation. varenda inverterbara matriser existerar enheter inom ringen samt samtliga icke-inverterbara matriser existerar nolldelare.
  Elementära matriserna är faktorer till A va? Men vad ska man använda för strategi för att få fram de?

  detta senare är kapabel inses genom för att välja enstaka matris vars kolonner består från icke-noll vektorer X liknande för att AX = 0. sådana vektorer finns per definition då A ej existerar inverterbar.

Invers

[redigera | redigera wikitext]

En n×n-matris A existerar inverterbar ifall detta existerar enstaka n×n matris B sådan för att

Om detta existerar fallet existerar matrisen B entydigt bestämd från A samt kallas inversen mot A samt betecknas A^-1.

En kvadratisk matris liksom ej existerar inverterbar kallas singulär. ett matris existerar singulär angående samt endast angående dess determinant existerar lika tillsammans med 0.

Egenskaper hos inverterbara matriser

[redigera | redigera wikitext]

Inversen från ett inverterbar matris A existerar även inverterbar tillsammans med inversen

.

Inversen från ett inverterbar matris A multiplicerad tillsammans med ett nollskild skalär k existerar enstaka vara från inverserna från både matrisen samt skalären

.

För ett inverterbar matris A existerar transponatet från inversen lika tillsammans inversen från transponatet

Produkten från numeriskt värde inverterbara matriser A samt B från identisk storlek existerar inverterbar tillsammans med inversen

(Observera för att A samt B besitter bytt plats.)

Icke kvadratiska matriser

[redigera | redigera wikitext]

Även till vissa icke-kvadratiska matriser, A, är kapabel man antingen hitta enstaka matris B sådan för att BA&#;=&#;I, eller hitta enstaka matris C sådan för att AC&#;=&#;I.

B' respektive C kallas då vänsterinvers respektive högerinvers. (Om ett matris besitter både ett vänsterinvers B samt enstaka högerinvers C, sålunda måste B&#;=&#;C samt artikel invers mot A, såsom från rangskäl därför måste existera kvadratisk.)

Matriser tillsammans vissa egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Reellvärda matriser

[redigera | redigera wikitext]

Matrisen A är:

Komplexvärda matriser

[redigera | redigera wikitext]

Matrisen M är:

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]

• Wikimedia Commons äger media vilket rör matris.