Hur får man fram en primitiv funktion

I detta förra avsnittet repeterade oss vad enstaka differentialekvation existerar, för att lösningen mot ett differentialekvation existerar enstaka funktion samt hur oss är kapabel kontrollera för att ett viss funktion existerar ett lösning.

I detta på denna plats avsnittet kommer oss för att undersöka hur oss inom vissa fall förmå åtgärda enstaka differentialekvation genom för att beräkna primitiva funktioner.

Primitiva funktioner

Redan inom Matte 3-kursen lärde oss oss ifall primitiva funktioner inom samband tillsammans med för att oss beräknade integraler.

En funktion F(x) existerar primitiv funktion mot f(x) ifall oss får funktionen f(x) då oss deriverar F(x):

$$F'(x)=f(x)$$

Har oss mot modell ett känd andragradsfunktion

$$f(x)=a{x}^{2}+bx+c$$

där a, b samt c besitter godtyckligt valda värden, förmå oss tillsammans hjälp från kända räkneregler beräkna den primitiva funktionen F(x):

$$F(x)=\frac{a{x}^{3}}{3}+\frac{b{x}^{2}}{2}+cx+d$$

Som oss ser ovan tillkom ett konstantterm d då oss beräknade den primitiva funktionen F(x).

detta beror vid för att detta formulering på grund av den primitiva funktionen såsom oss kom fram mot uttrycker samtliga primitiva funktioner mot f(x).

På detta sätt kunna oss alltså beräkna primitiva funktioner F(x) mot enstaka känd funktion f(x). Detta innebär för att angående oss mot modell känner mot en formulering till ett derivata y'(x) därför kunna oss ofta beräkna y(x).

Lägg till en konstant $C$ C

Hur detta är kapabel användas då oss löser differentialekvationer bör oss undersöka härnäst.

Primitiv funktion likt svar mot differentialekvationer

Som oss tidigare äger kommit fram mot existerar enstaka differentialekvation enstaka ekvation vilket innehåller enstaka alternativt flera derivator mot ett funktion.

Till modell förmå ett differentialekvation titta ut vid nästa sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

Denna differentialekvation innehåller enbart förstaderivatan från funktionen s(t) inom detta vänstra ledet samt en känt formulering inom detta högra ledet.

Denna differentialekvation kunna mot modell förklara hur en föremåls hastighet beror vid tiden t (vid tiden t = 0 sekunder existerar hastigheten 5 m/s samt sedan ökar hastigheten på grund av varenda kort tid liksom går tillsammans med 1,2 m/s).

Stöter oss vid differentialekvationer från denna typ förmå oss ofta åtgärda dem genom för att beräkna den primitiva funktionen tillsammans med hjälp från kända räkneregler.

Differentialekvationen ovan kunna oss åtgärda genom för att beräkna den primitiva funktionen mot s'(t), detta önskar yttra s(t), vid nästa sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

$$s(t)=\frac{1,2{t}^{2}}{2}+5t+C=0,6{t}^{2}+5t+C$$

Som oss ser innehåller den primitiva funktionen s(t) ett okänd konstantterm C. tillsammans hjälp från denna konstantterm C uttrycker s(t) samtliga lösningar mot vår givna differentialekvation, vad oss kallar den allmänna lösningen mot differentialekvationen.

Om s(t) tolkas såsom hur sträckan beror vid tiden t, förmå konstanttermen C tolkas såsom sträckan då tiden t existerar lika tillsammans noll.

Låter oss C = 0 gälla kunna oss idag beräkna hur långt ifrån utgångspunkten C likt föremålet befinner sig nära mot modell tidpunkten t = 10 sekunder:

$$s(t)=0,6{t}^{2}+5t$$

$$s(10)=0,6\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=60+50=\,m$$

På liknande sätt vilket oss äger gjort på denna plats ovan är kapabel oss utföra ifall oss mot modell känner mot en formulering till andraderivatan s''(t).

Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram ”baklängesderivatan” för en funktion

inom detta fallet existerar förstaderivatan s'(t) enstaka primitiv funktion mot s''(t), samt funktionen s(t) existerar enstaka primitiv funktion mot s'(t). då oss besitter för att utföra tillsammans sträckor tolkar oss förstaderivatan s'(t) såsom hastigheten, v(t) = s'(t), samt andraderivatan s''(t) såsom accelerationen, a(t) = v'(t) = s''(t).

Användning från villkor

Framgångsrik svar från enstaka differentialekvation leder typiskt mot för att oss får reda vid enstaka allmän svar mot differentialekvationen.

Därför äger oss ofta användning till ytterligare villkor liksom specificerar noggrant vilka lösningar oss existerar intresserade av.

I fallet tillsammans en objekt inom rörelse, vars acceleration existerar känd, är kapabel dem ytterligare villkoren bestå inom för att oss känner mot vilken hastigheten och/eller sträckan existerar nära enstaka viss tidpunkt.

tillsammans hjälp från dessa villkor förmå oss sedan avgöra värdena vid konstanter liksom ingår inom vårt funna funktionsuttryck.

---

Lös differentialekvationen

$$y''=sin\,2x+cos\,2x$$

då nästa villkor gäller:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

Differentialekvationen består från en känt formulering på grund av enstaka andraderivata y''(x).

Ange den fullständiga primitiva funktionen med den beräknade konstanten

för att åtgärda denna ekvation innebär för att oss tar reda vid en formulering till y(x). Detta kunna oss utföra genom för att oss ursprunglig kalkylerar den primitiva funktionen mot y''(x), detta önskar yttra y'(x), samt inom nästa steg kalkylerar den primitiva funktionen mot y'(x), detta önskar yttra y(x).

De primitiva funktionerna mot funktionerna f(x) = sin 2x samt g(x) = cos 2x existerar kända, eftersom oss stötte vid dessa inom Matte 4-kursen då oss studerade räkneregler till integraler:

$$\begin{cases}f(x) & =sin\,2x\\F(x) & =-\frac{cos\,2x}{2}+C\end{cases}$$

och

$$\begin{cases}g(x) & =cos\,2x\\G(x) & =\frac{sin\,2x}{2}+C\end{cases}$$

Vi kalkylerar y'(x) liksom den primitiva funktionen mot y''(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}+C$$

Detta existerar samtliga primitiva funktioner mot y''(x).

eftersom oss känner mot värdet vid förstaderivatan då x = 0 är kapabel oss ta reda vid värdet vid konstanttermen C samt på det sättet ta reda vid just den primitiva funktionen mot y''(x) liksom oss existerar ute efter inom detta steg:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y'(0)=-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{2}+\frac{sin\,(2\cdot 0)}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+\frac{0}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+C$$

Därför måste värdet vid konstanttermen C existera lika tillsammans noll.

Vi går vidare samt kalkylerar y(x) liksom den primitiva funktionen mot y'(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}$$

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}+D$$

Detta existerar samtliga primitiva funktioner mot y'(x), självklart för att detta inledande villkoret, liksom oss redan tagit hänsyn mot, måste gälla.

oss äger dock kvar ett konstantterm, D, för att hantera. till för att ta reda vid just den svar såsom oss existerar intresserade från, använder oss oss från detta andra villkoret, likt anger funktionsvärdet då x = 0:

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

$$y(0)=-\frac{sin\,(2\cdot 0)}{4}-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{4}+D=$$

$$=-\frac{0}{4}-\frac{1}{4}+D=$$

$$=-\frac{1}{4}+D$$

Alltså måste även värdet vid konstanttermen D existera lika tillsammans med noll.

Nu äger oss funnit just den svar mot differentialekvationen vilket oss plats ute efter:

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}$$